Question

20．化简：
（1）$\sqrt{4+\sqrt{15}}$
（2）$\sqrt{2-\sqrt{3}}$
（3）$\sqrt{14-3\sqrt{3}}$
（4）$\sqrt{14+5\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式结合二次根式的性质化简求出答案；
（2）利用完全平方公式结合二次根式的性质化简求出答案；
（3）利用完全平方公式结合二次根式的性质化简求出答案；
（4）利用完全平方公式结合二次根式的性质化简求出答案．

解答 解：（1）$\sqrt{4+\sqrt{15}}$=$\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}$=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{5}）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}$；

（2）$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}-1）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$；

（3）$\sqrt{14-3\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{28-6\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{（3\sqrt{3}-1）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（3$\sqrt{3}$-1）=$\frac{3\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$；

（4）$\sqrt{14+5\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{28+10\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{（5+\sqrt{3}）^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（5+$\sqrt{3}$）=$\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题主要考查了二次根式的性质以及完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．