Question

如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x、y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB与△OAD相似，则这样的点D有    个，其坐标分别是    ．

Answer 1

【答案】分析：此题分为若AD是斜边，且△AOB∽△AOD与△AOB∽△DOA以及△AOB∽△DAO去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得点D的坐标，小心别漏解．
解答：解：∵OA=1，OB=2，
∴AB=，
①如图：若AD是斜边，且△AOB∽△AOD，
则∠AOB=∠AOD=90°，
∴=1，
∴DO=2，
∴D₁（0，-2）；
易得：△AOB∽△ADO，D₂（1，-2）；

②如图：若△AOB∽△DOA，
则∠AOB=∠AOD=90°，
∴，
即，
解得：DO=，
∴D₃（0，-）；
易得：△AOB∽△DAO时，D₄（1，-）；

③如图：若△AOB∽△ADO，
∴∠ADO=90°，
∴，∠AOD=∠OAB，
∴，
∴OD=，
∴sin∠AOD==sin∠OAB=，
∴，
∴DH=，则OH=，
∴D₅（，-）；
易得：D₆（，-）．
∴这样的点D有6个，其坐标分别是（0，-2），（1，-2），（0，），（1，），（，），（，）．
故答案为：6，（0，-2），（1，-2），（0，），（1，），（，），（，）．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意不要漏解．