题目内容

如图，已知△ABC中∠C=90°，BC=4，AC=3，点P是斜边AB上的一动点，作PE⊥BC于点E，作PF⊥AC于点F，垂足分别为E、F．
（1）求证：四边形PECF是矩形；
（2）想一想，当点P运动到什么地方时，△APF与△PBE全等，证明你的猜想；
（3）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF是正方形，证明你的猜想；
（4）想一想，当点P运动到什么地方时，四边形PECF的面积最大，并求出这个最大值．

解：（1）证明：∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°
同理：∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）；

（2）P运动到线段AB的中点时，△APF与△PBE全等
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠C=90°，
∴PE∥AC，
∴∠EPB=∠A
同理∠APF=∠B，
若点P是AB的中点则有AP=PB，
可得△APF≌△PBE（ASA）；

（3）当AP= $\text{[math]}$ 时，四边形PECF是正方形，
由（1）知四边形PECF是矩形，若四边形PECF是正方形，
则有PE=PF，设PE=PF=x，
则CF=x，AF=3-x，
∵PE∥AC，
∴∠BEP=∠C，∠BPE=∠A，
∴△APF∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
解得x= $\text{[math]}$ ，
经检验x= $\text{[math]}$ 是方程的根，
∴AF=3-x= $\text{[math]}$ ，CF=x= $\text{[math]}$ ，
在Rt△AFP中，根据勾股定理得：AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即当AP= $\text{[math]}$ 时，PE=PF= $\text{[math]}$ ，
矩形PECF是正方形；

（4）当AP= $\text{[math]}$ 时，四边形PECF的面积最大．
由（1）知四边形PECF是矩形，
∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴根据勾股定理得：AB= $\text{[math]}$ =5，
设AP=x，则由△APF∽△ABC可得： $\text{[math]}$ ，即PF= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即AF= $\text{[math]}$ ，
∴PE=3- $\text{[math]}$ ，
∴S_矩形PECF=PF•FC= $\text{[math]}$ x（3- $\text{[math]}$ x）
∵ $\text{[math]}$ x（3- $\text{[math]}$ x）=- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+3，
∴当x= $\text{[math]}$ 时四边形PECF的面积最大，最大值为3．
分析：（1）知道什么是矩形即可求解，即确定四个角都是直角即可．
（2）若使两三角形全等，因为都是直角三角形，且PF∥BC，只需一条边相等即可，即P运动到中点位置时，两条斜边相等．
（3）由（1）知四边形PECF是矩形，要使其为正方形，只需相邻两条边相即可．先假设其两邻边相等，即PE=PF，在假设其为一未知量x，通过相似三角形求其具体的值．
（4）这一问涉及二次函数求最值问题，可先假设AP=x，由△APF∽△ABC，求出x的值，进而求出其最大面积，即P点移动到AB中点时的面积为最大．
点评：熟练掌握正方形及矩形的性质及判定，理解直角三角形勾股定理的概念，能够求解二次函数的最值问题．