Question

如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=，若线段OA的长是一元二次方程x²-7x-8=0的一个根，又2AB=3OA，请解答下列问题：
（1）求点B、F的坐标；
（2）求直线ED的解析式；
（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵x²-7x一8=0，
∴x₁=8，x₂=-1（舍），
∴OA=8，
又∵2AB=3OA，
∴AB=12，
∵∠EFD=90°，
∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠DFB，
∵tan∠DFB=tan∠AEF=，
∴设AF=4k，AE=3k，
根据勾股定理得，EF=EO=5k，
3k+5k=8，
∴k=1，
∴AE=3，AF=4，EF=EO=5，
∴点B的坐标为（12，8），点F的坐标为（4，8）；
（2）设直线ED的解析式是y=kx+b，
∵直线ED经过（0，5），（10，0）两点，
∴，
解得，
∴；
（3），。