题目内容

如图（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；
（3）如图（3），过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先设M的坐标为（m，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM2=BD•MN，则可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求得答案；
（3）作F关于x轴的对称点F′（0，-1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，
∵点B的坐标为（3，0），
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为：y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，
∴点D的坐标为（0，3），
∵点B的坐标为（3，0），
∴BD=
32+32
=3
2
．
设M（m，0），则DM=
32+m2
．
∵MN∥BD，
∴
MN
BD
=
AM
AB
，即
MN
3
2
=
1+m
4
，
∴MN=
3
2
4
（1+m）．
∵△DNM∽△BMD，
∴
DM
BD
=
MN
DM
，即DM2=BD•MN，
∴9+m2=3
2
×
3
2
4
（1+m），
解得：m=
3
2
或m=3（舍去）．
当m=
3
2
时，y=-（
3
2
-1）2+4=
15
4
．
故所求点T的坐标为（
3
2
，
15
4
）；

（3）在x轴上存在一点H，能够使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小．理由如下：
∵y=-x2+2x+3，对称轴方程为：x=1，
∴当x=2时，y=-4+4+3=3，
∴点E（2，3）．
∴设直线AE的解析式为：y=kx+n，
∴
-k+n=0
2k+n=3
，解得
k=1
n=1
，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x=1对称，
作点F关于x轴的对称点F′（0，-1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，则四边形DFHG的周长即为最小．
设直线EF′的解析式为：y=px+q，
∴
q=-1
2p+q=3
，解得：
p=2
q=-1
，
∴直线EF′的解析式为：y=2x-1，
∴当y=0时，2x-1=0，得x=
1
2
，即H（
1
2
，0），
当x=1时，y=1，即G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H=
12+(
1
2
)2
=
5
2
，DG=
12+22
=
5
，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+
5
2
+
5
2
+
5
=2+2
5
．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数函数的解析式，平行线分线段成比例定理，轴对称-最短路线问题，相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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3
x-
3
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1
2
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2
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83
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