Question

如图，一条抛物线y=ax²+bx（a≠0）的顶点坐标为（2，

8

3

），正方形ABCD的边AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析：（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-2）²+

8

3

，然后把原点坐标代入计算求出a的值即可得解；
（2）设正方形的边长为2m，根据抛物线的对称性求出点C的坐标，然后代入抛物线解析式计算求出m的值，即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）的顶点坐标为（2，

8

3

），
∴设顶点式形式为y=a（x-2）²+

8

3

，
则a（0-2）²+

8

3

=0，
解得a=-

2

3

，
所以，y=-

2

3

（x-2）²+

8

3

=-

2

3

x²+

8

3

x，
故抛物线解析式为y=-

2

3

x²+

8

3

x；

（2）设正方形ABCD的边长为2m，
∵抛物线对称轴为直线x=2，AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上，
∴点C的坐标为（2+m，2m），
∴-

2

3

（2+m）²+

8

3

（2+m）=2m，
整理得，m²+3m-4=0，
解得m₁=1，m₂=-4（舍去）．
所以正方形ABCD的边长为2m=2×1=2．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，抛物线的对称性，（1）利用抛物线的顶点式解析式求解更加简便．