Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC，CM，BM，求△BCM的面积．
（3）若点M是第一象限抛物线上的一个动点，连接BC，CM，BM，求△BCM的最大面积．

Answer 1

分析：（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C的坐标，令x=0可以求出A、B点的坐标．
（2）将抛物线的解析式进行配方，不难求出顶点M的坐标，进而能得出MC、MB、BC的长度，首先利用勾股定理判断△BCM是否为直角三角形，若为直角三角形，直接利用两直角边求面积即可．
（3）将△BCM的面积视作△OCM、△OBM的面积和再减去△OBC的面积，根据这个思路求出关于△BCM的面积和点M横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质解答即可．

解答：解：（1）当x=0时，y=-x²+2x+3=3；
当y=0时，0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1、x₂=3；
故A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）．

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得：M（1，4）；
已知：B（3，0）、C（0，3），则：MB²=20、MC²=2、BC²=18，
即：MC²+BC²=MB²，∴△BCM为直角三角形，且∠MCB为直角；
则S_△BCM=

1

2

MC•BC=

1

2

×

2

×3

2

=3．

（3）设M（x，-x²+2x+3），则：
△BCM的面积：y=S_△OMC+S_△OBM-S_△BOC
=

3

2

x+

3

2

（-x²+2x+3）-

9

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
故当x=

3

2

时，△BCM的面积最大，且值为

27

8

．

点评：考查了二次函数综合题，此题的难度不大，重在基础知识的考查；后面两题可以用同一种方法来解，过M作y轴的平行线，交BC于N，以MN为底，点B横坐标的绝对值为高来解决△BCM的面积问题．