题目内容

如图，抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴于点C，已知B（3，0），tan∠OAC=3．

（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线作适当平移，平移后的抛物线始终经过点C，设平移后的抛物线交x轴于M、N两点，若S_△CMN=2S_△CAB，求平移后的抛物线的解析式；
（3）已知D点是抛物线的顶点，E是抛物线在第三象限部分上的点，是否存在这样的点E，使点E关于直线BC的对称点恰好在直线BD上？若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线y=ax²-2ax+b知，对称轴x=1，已知B（3，0），则A（-1，0）；
在Rt△OAC中，OA=1、tan∠OAC=3，则：OC=3OA=3，即 C（0，-3）；
将A（-1，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²-2ax+b中，得：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
故抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）依题意，设平移后的抛物线解析式：y=x²+ax-3，M（m，0）、N（n，0），则：m+n=-a、mn=-3；
∵S_△CMN=2S_△CAB，
∴MN=2AB=8，即：
|m-n|= $\text{[math]}$ =8，代入数据，得：
$\text{[math]}$ =8，
解得：a=±2 $\text{[math]}$ ；
故平移后的抛物线解析式：y=x²+2 $\text{[math]}$ x-3或y=x²-2 $\text{[math]}$ x-3．

（3）由（1）知，y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则：D（1，-4）；
连接DC，并延长交BE的延长线于F，如右图；
∵点E关于BC的对称点在直线BD上，
∴直线BE、BD关于直线BC对称；
过C作抛物线对称轴的垂线，设垂足为G；
由C（0，-3）、D（1，-4）可知，CG=GD=1，即△CGD是等腰直角三角形，∠GCD=45°；
又∵OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，即∠OCB=∠BCG=45°；
∴∠BCD=∠BCG+∠GCD=90°，
∵直线BE、BD关于直线BC对称，
∴E、D关于点C对称，由C（0，-3）、D（1，-4）知：F（-1，-2）；
设直线BE的解析式为：y=kx+b，代入B（3，0）、F（-1，-2），得：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
∴直线BE：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，联立抛物线的解析式，有：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$
∴E（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由抛物线的解析式不难判断出对称轴方程，已知B点的坐标，则A点坐标可求；在Rt△AOC中，已知∠OAC的正切值和OA的长，那么可以求出OC的长以及C点的坐标，再由待定系数法即可确定该抛物线的解析式．
（2）抛物线在平移的过程中，不变的是开口方向和大小（二次项系数），已知平移后的抛物线经过点C，那么常数项也不变，所以对比平移前后的抛物线解析式，变化的只有一次项系数，可据此先设出平移后的抛物线；已知S_△CMN=2S_△CAB，它们的高OC相同，所以MN=2AB，设出M、N的横坐标，结合MN的长和根与系数的关系解题即可．
（3）若点E关于直线BC的对称点恰好在直线BD上，那么直线BE、BD关于直线BC对称，连接DC，交直线BE于F，由C、D的坐标不难看出CD正好和BC垂直，若直线BE、BD关于直线BC对称，那么点F、D必关于点C对称（CF=CD），首先求出点F的坐标，再由待定系数求出直线BF的解析式，联立直线BF和抛物线的解析式即可求出E点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、三角形面积的求法以及轴对称图形的性质；（2）题中，活用二次函数与一元二次方程的联系以及根与系数的关系是解题的关键；最后一题中，根据轴对称图形的性质构建出等腰三角形是打开解题思路的重要步骤．