题目内容

已知二次函数在 $数学公式$ 时取得最大值25，其图象与x轴相交于两点，这两个点的横坐标的平方和等于13，则其解析式是________．

y=-4x²+4x+24
分析：由在 $\text{[math]}$ 时取得最大值25，可设解析式为：y=a $\text{[math]}$ +25，只需求出a即可，又与x轴交点横坐标的平方和为13，可求出a，所以可求出解析式．
解答：由题可设抛物线与x轴的交点为（ $\text{[math]}$ -t，0），（ $\text{[math]}$ +t，0），其中t＞0，
∵两个交点的横坐标的平方和等于13即： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =13，
可得t= $\text{[math]}$ ，∴抛物线与x轴的交点为（-2，0），（3，0），
由顶点为（ $\text{[math]}$ ，25），
可设解析式为：y=a $\text{[math]}$ +25，
将（3，0）代入可得a=-4，
∴y=-4 $\text{[math]}$ +25=-4x²+4x+24，
故答案为：y=-4x²+4x+24．
点评：本题考查了二次函数的最值及待定系数法求解析式，难度一般，关键算出a的值．