题目内容
【题目】如图，抛物线
经过点A（1,0），B（4,0）与
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）9；（3）存在点M的坐标为（
）或（
）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
【解析】
(1)根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得a、b的值.
（2）根据PA=PB，要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.
（3）首先根据△BQM为直角三角形，便可分为两种情况QM⊥BC和QM⊥BO，再结合△QBM∽△CBO，根据相似比例便可求解.
解：（1）将点A（1,0），B（4,0）代入抛物线
中，得：
解得：
所以抛物线的解析式为.
（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线
.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9.
(3) 当QM⊥BC时，易证△QBM∽△CBO 所以 
,
又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x
所以
所以
.所以QM=CM=
，BM=5- x=
,所以BM:CM=4:3.
过点M作NM⊥OB于N，则MN//OC, 所以 
,
即
，所以
, 
所以点M的坐标为（）
当QM⊥BO时, 则MQ//OC, 所以 
, 即
设QM=3t, 则BQ=4t, 又因为△CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t
又因为QM2+QB2=BM2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得
MQ=3t=
,
, 所以点M的坐标为（）.
综上所述，存在点M的坐标为（）或（）使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形
