Question

对于每个正整数n，关于x的一元二次方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的两个根分别为a_n、b_n，设平面直角坐标系中，A_n、B_n两点的坐标分别为A_n（a_n，0），B_n（b_n，0），A_nB_n表示这两点间的距离，则A_nB_n=

1

n(n+1)

（用含n的代数式表示）；A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₂B₂₀₁₂的值为

2011

2012

．

Answer 1

分析：由于关于x的一元二次方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的两个根分别为a_n、b_n，可知，二次函数y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴的交点间的距离为

△

|a|

，据此求出A_nB_n的表达式，然后令n=1，n=2，…，据此列出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₂B₂₀₁₂的表达式，计算即可．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0的两个根分别为a_n、b_n，
∴A_nB_n=

[ 2n+1 n(n+1) ]2-4 1 n(n+1)

1

=

4n2+1+4n n2(n+1)2 - 4n(n+1) n2(n+1)2

=

1

n(n+1)

；

∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₂B₂₀₁₂
=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．
故答案为

1

n(n+1)

、

2011

2012

．

点评：本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，以及二次函数与x轴交点间的距离公式，同时要进行规律探究，难度较大．