Question

10．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠DBC=48°，求∠DCE的度数．

Answer 1

分析 （1）此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE；
（2）利用全等三角形的性质证明题目的结论．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°．
∵∠A=90°，
∴∠A=∠BEC．
在△ABD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BEC}\\{∠ADB=∠DBC}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE．
（2）在△ADC中，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DBC=48°，
∴在△BDC中，∠DBC+2∠BDC=180°，
即48°+2∠BDC=180°，
解得：∠BDC=66°，
∴在Rt△CED中，∠DCE=90°-66°=24°．

点评 本题考查了三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．