Question

如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？

Answer 1

解：△ABC为等边三角形．理由如下：
连OC，
∵=，
∴AB=BC，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°
∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，
，
∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）
∴CD=CE，
∴BC=AC，
∴AB=AC=CB，
∴△ABC为等边三角形．
分析：根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．