题目内容
4．
已知：抛物线C1的顶点坐标为（2，1），且经过（1，0）．把C1先向左平移2个单位，再向上平移8个单位得到抛物线C2．（1）求抛物线C2的函数解析式；
（2）设抛物线C2交x轴于M，N两点（点M在点N的左侧），第一象限有一点A，以AM为直径的圆经过点N，且∠MAN=45°，点P（a，b）为抛物线C2在第二象限上的一个动点，求△AMP面积的最大值；
（3）若点P（a，b）为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点，当∠MPN≥45°时，求出a的取值范围．
分析 （1）可先求得C1的解析式，再进行平移可求得C2的解析式；
（2）由圆周角定理可先求得A点坐标，可求得直线AM的解析式，过P作PE⊥x轴，交直线AM于点E，则可用a表示出PE的长度，可表示出△AMP的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）设直线AM交y轴于点H，则H为AM的中点，则当点P在以AM为直径的圆内或圆上时满足∠MPN≥45°，结合图象可求得圆与抛物线的交点坐标，则可求得a的取值范围．
解答 解：
（1）∵抛物线C1的顶点坐标为（2，1），
∴设抛物线C1的解析式为y=a（x-2）2+1，
∵经过（1，0），
∴0=a×（1-2）2+1，解得a=-1，
∴设抛物线C1的解析式为y=-（x-2）2+1，
∵把C1先向左平移2个单位，再向上平移8个单位得到抛物线C2，
∴抛物线C2的解析式为y=-x2+9；
（2）在y=-x2+9中，令y=0可得：-x2+9=0，解得x=3或x=-3，
∴M（-3，0），N（3，0），
∵AM为直径，
∴∠MNA=90°，
∴AN⊥MN，
∵∠MAN=45°，
∴AN=MN=3-（-3）=6，
∴A（3，6），
∴直线AM解析式为y=x+3，
如图1，过P作PE⊥x轴，交AM于点E，
∵P在抛物线上，
∴P（a，-a2+9），则E（a，a+3），
∵P在第二象限，
∴PE=-a2+9-（a+3）=-a2-a+6=-（a+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{25}{4}$，
∴S△AMP=$\frac{1}{2}$PE•[3-（-3）]=3×[-（a+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{25}{4}$]=-3（a+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{75}{4}$，
∴当a=-$\frac{1}{2}$时，△AMP的面积最大，最大值为$\frac{75}{4}$；
（3）在（2）中，可知当点P在以AM为直径的圆上时，∠MAN=∠MPN=45°，如图2，
则当点P在圆内时有∠MPN≥45°，
∵M（-3，0），A（3，6），
∴AM的中点为（0，3），即圆心坐标为（0，3），
当点P在圆上时，满足点P到圆心的距离等于半径，
∴a2+（-a2+9-3）2=32+32，解得a2=9（舍去）或a2=2，
解得a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$，
∴当∠MPN≥45°时，求出a的取值范围为-3＜a≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤a＜3．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、图象的平移、二次函数的性质及圆周角定理等知识点．在（1）中先求得抛物线C1的解析式是解题的关键，在（2）中表示出PE的长度是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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