Question

10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，连接BB₁，设B₁C交AB于D，A₁B₁分别交AB，AC于E，F
（1）在图中不添加任何线段的情况下，请找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC≌△A₁B₁C除外）；
（2）当△BB₁D是等腰三角形时．求α．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，利用旋转的性质及全等三角形的判定方法，来判定三角形全等．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．

解答 解：（1）△CBD≌△CA₁F，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，
∴∠A₁=∠A，A₁C=AC，∠ACA₁=∠BCB₁=α．
∴∠A₁=∠CBD，A₁C=BC．
在△CBD与△CA₁F中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠C{A}_{1}F}\\{BC={A}_{1}F}\\{∠BCD=∠{A}_{1}CF}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CA₁F（ASA）．

（2）在△CBB₁中，∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=$\frac{1}{2}$（180°-α）．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD，
∵∠B₁DB=45°+α，∠B₁BD=∠CBB₁-45°=$\frac{1}{2}$（180°-α）-45°=45°-$\frac{α}{2}$，
∴45°+α=45°-$\frac{α}{2}$，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，
∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，
即45°+α=$\frac{1}{2}$（180°-α），
解得：α=30°
综上，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°．

点评 本题考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，根据△BB₁D是等腰三角形分类讨论是解题的关键．