题目内容
【题目】定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．
（1）如图，在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，以点
为圆心，5为半径作圆
，交
轴的负半轴于点
，求过点的圆 的切线的解析式；
（2）若抛物线
（
）与直线
（
）相切于点
，求直线的解析式；
（3）若函数
的图象与直线
相切，且当
时，
的最小值为
，求的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）1或
【解析】
（1）连接
，由
、
可求
，即
．因为
过点
的
切线，故有
，再加公共角
，可证
，由对应边成比例可求
的长，进而得点
坐标，即可求直线
解析式．
（2）分别把点
代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为
，直线解析式可消去
得
．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于
的方程有两个相等的实数根，即△
，即求得
的值．
（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于的方程有两个相等是实数根，即△，整理得式子
，可看作
关于
的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线
．分类讨论对称轴在
左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在
左侧即
时，由图象可知时随的增大而增大，所以
时取得最小值，把、
代入得到关于的方程，方程无解；②当对称轴在范围内时，
时即取得最小值，得方程
，解得：
；③当对称轴在2的右侧即
时，由图象可知时随的增大而减小，所以
时取得最小值，把、代入即求得的值．
解：（1）如图1，连接，记过点的切线交
轴于点
，
，
，
设直线解析式为：
，解得：
过点的的切线的解析式为;
（2）
抛物线
经过点
，解得：
抛物线解析式：
直线
经过点
，可得：
直线解析式为：
直线与抛物线相切
关于的方程
有两个相等的实数根
方程整理得：
△
解得：
直线解析式为；
（3）函数
的图象与直线
相切
关于的方程
有两个相等的实数根
方程整理得：
△
整理得：，可看作关于的二次函数，
对应抛物线开口向上，对称轴为直线
当时，的最小值为
①如图2，当时，在时随的增大而增大
时，取得最小值
，方程无解；
②如图3，当
时，时，取得最小值
，解得：；
③如图4，当时，在时随的增大而减小
时，取得最小值
，解得：
，
（舍去）
综上所述，的值为1或．
