题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=
x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；
（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣
x2+
x﹣2；D（，
）；（2）P（2，1）；△PAC的面积最大为4；（3）存在；G（0，
）.
【解析】
（1）利用一次函数是性质求得点A、C的坐标，然后把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式即可；将二次函数解析式转化为顶点式方程，可以直接得到答案；
（2）利用分割法求得△PAC的面积为二次函数的形式，利用二次函数最值的求法进行解答；
（3）利用轴对称-最短路径方法证得点G，结合一次函数图象上点的坐标特征求得点G的坐标．
（1）把x=0代入y=x﹣2中得：y=﹣2，
把y=0代入y=x﹣2中得：x=4，
∴A（4，0），C（0，﹣2），
把A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）分别代入y=ax2+bx+c，得
，
解得
．
则该抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣2，
∴y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣）2+，
∴顶点D（，）；
（2）在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4．理由如下：
如图1，过点P作PQ∥y轴交AC于Q，连接PC，PA．
设P（x，﹣x2+x﹣2），则Q（x，x﹣2）．
∴PQ=﹣x2+x﹣2﹣（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2．
又∵S△PAC=S△PQC+S△PQA
=xPQ+（4﹣x）PQ
=2PQ，
∴S△PAC=﹣（x﹣2）2+4．
∴当x=2时，S△PAC最大值为4，此时﹣x2+x﹣2=1，
∴在直线AC的上方抛物线上存在点P（2，1），使△PAC的面积最大，最大值为4；
（3）存在点G（0，）使得GD+GB的值最小．理由如下：
如图1，
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′D交y轴于点G，则B′（﹣1，0），
设直线B′D的解析式为y=kx+b，
则
，解得：
，
∴直线B′D的解析式为y=x+，
把x=0代入，得y=，
∴存在点G（0，）使得GD+GB的值最小．
