Question

【题目】已知方程，为实数，且，证明：

（1）这个方程有两个不相等的实数根；

（2）一个根大于1，另一个根小于1.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
（2）利用根与系数的关系以及（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1，确定两个根的取值情况．

解：证明：（1）把（x-1）（x-2）=k2化简，得x2-3x+2-k2=0，
∵有两个不相等的实数根，a=1，b=-3，c=2-k2，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（2-k2）=1+4k2＞0，
∴方程两个不相等的实数根；
（2）设方程有两个根为x1和x2，
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=2-k2-3+1=-k2，
∵k为实数且k≠0，
∴-k2＜0，

∴x1-1和x2-1异号，

∴方程的一个根大于1，另一个根小于1.