Question

18．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．
①连结OE，求△OBE的面积．
②求弧AE的长．

Answer 1

分析 （1）先由AE=EC、BE=ED可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；
（2）①连结OF，由切线可得OF为△ABD的高且OF=4，从而可得S_△ABD，由OE为△ABD的中位线可得S_△OBE=$\frac{1}{4}$S_△ABD；
②作DH⊥AB于点H，结合①可知四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4，根据sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$知∠EOB=∠DAH=30°，即∠AOE=150°，根据弧长公式可得答案

解答 解：（1）∵AE=EC，BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB为直径，且过点E，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）①连结OF．

∵CD的延长线与半圆相切于点F，
∴OF⊥CF．
∵FC∥AB，
∴OF即为△ABD中AB边上的高．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×OF=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
∵点O是AB中点，点E是BD的中点，
∴S_△OBE=$\frac{1}{4}$S_△ABD=4．
②过点D作DH⊥AB于点H．
∵AB∥CD，OF⊥CF，
∴FO⊥AB，
∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．
∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．
∵在Rt△DAH中，sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DAH=30°．
∵点O，E分别为AB，BD中点，
∴OE∥AD，
∴∠EOB=∠DAH=30°．
∴∠AOE=180°-∠EOB=150°．
∴弧AE的长=$\frac{150π×4}{180}$=$\frac{10}{3}π$．

点评 本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．