Question

在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB，CD相交于点E，连接AD，BD．
（1）写图中有______对相似三角形；
（2）并证明其中一对三角形相似．

Answer 1

解：（1）4对．
∵∠CAB=∠CDB，∠ACD=∠ABD，
∴△ACE∽△DBE，
同理：△BCE∽△DAE，
∵CD平分∠ACB，
即∠ACD=∠BCD，
∵∠ABC=∠ADC，
∴△DCA∽△BCE，
∴△DAE∽△DCA；
∴共有4对相似三角形．
故答案为：4；

（2）若选△AEC∽△DEB理由如下：
∵∠ACE=∠EBD，∠CEA=∠BED，
∴△AEC∽△DEB．
分析：（1）由圆周角定理可得∠CAB=∠CDB，∠ACD=∠ABD，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定△ACE∽△DBE，同理：△BCE∽△DAE，又由CD平分∠ACB，易判定△DCA∽△BCE，继而可得△DAE∽△DCE；
（2）选择其一，利用圆周角定理、角平分线的定义，即可证得．
点评：此题考查了相似三角形的判定与圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．