题目内容
12．已知函数y=mx2-6x-1（m是常数）．①求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
②若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
分析 （1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2-6x-1的图象都经过y轴上一个定点（0，-1）．
（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；
②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．
解答 解：（1）当x=0时，y=1．
所以不论m为何值，函数y=mx2-6x-1的图象都经过y轴上一个定点（0，-1）；
（2）①当m=0时，函数y=mx2-6x-1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2-6x-1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x-1=0有两个相等的实数根，
所以△=（-6）2+4m=0，m=-9．
综上，若函数y=mx2-6x-1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或-9．
点评 此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．
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