Question

如图所示，在平面直角坐标系内点A和点C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作EF∥CD交AC于点F．
（1）求经过A、C两点的直线的解析式；
（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF为矩形？若能，求出此时k，b的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式；
（2）先由DE∥AC，直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5，根据两直线平行的性质可知直线DE的斜率与直线AC的斜率相等，即k=

3

4

，故可设直线DE的解析式为：y=

3

4

x+n，用含n的代数式表示出M、D两点的坐标．再假设四边形CDEF为矩形，易证△COD∽△DOM，根据相似三角形的对应边成比例，列出关系式，如果能够求出符合题意的n值，说明当点D在OB上移动时，能使四边形CDEF为矩形；否则就不能．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

4k+b=8 b=5

，
解得

k= 3 4 b=5

，
∴直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5；

（2）∵DE∥AC，直线AC的解析式为：y=

3

4

x+5，
∴可设直线DE的解析式为：y=

3

4

x+n．
设直线DE与y轴交于点M，则M（0，n），D（-

4

3

n，0）．
如果四边形CDEF为矩形，则DE⊥CD，
∴∠OCD=∠ODM=90°-∠ODC，
又∵∠COD=∠DOM，
∴△COD∽△DOM，
∴OC：OD=OD：OM，
∴OD²=OC•OM，
∴（-

4

3

n）²=5|n|，
∵n＜0，解得n=-

45

16

，
即直线DE的解析式为：y=

3

4

x-

45

16

，
故能使四边形CDEF为矩形，此时k=

3

4

，b=-

45

16

．

点评：此题考查运用待定系数求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性较强，难度中等．