Question

【题目】如图,∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交与点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.若AB=10，AC=8.

(1)求证：CF=BE；

(2) 求BE长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝1.

【解析】

（1）连CD、BD，根据角平行线的性质定理得到DE＝DF，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而得到CF=BE；

（2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE＝AF，设BE＝CF＝x，则AE＝10x，AF＝8＋x，进而列出方程求出x即可.

解：（1）连CD、BD，

∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

又∵DG垂直平分BC，

∴CD＝BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中，，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

∴CF=BE；

（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中，，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴AE＝AF，

设BE＝CF＝x，则AE＝10x，

∵AF＝AC＋CF＝8＋x，

∴8＋x＝10x，

解得x＝1，即BE＝1．