Question

如图a，∠EBF=90°，请按下列要求准确画图：
① 在射线BE、BF上分别取点A、C，使BC＜AB＜2BC，连接AC得直角△ABC；
② 在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P。

（1）请用量角器度量∠APM的度数为____（精确到1°）；
（2）请用说理的方法求出∠APM的度数；
（3）若将①中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出∠APM的度数吗？

Answer 1

解：（1）45°； （2）过点A作AK⊥AB，且AK=CN， 连接CK、MK， ∴四边形ANCK是平行四边形， ∵CN=MB， ∴AK=MB ∵AM=CB，∠B=∠KAM ∴△AKM≌△BMC ∴∠AKM=∠BMC，KM=MC ∵∠AKM+∠AMK=90° ∴∠BMC+∠AMK=90° ∴∠KMC=90° ∴△KMC是等腰直角三角形 ∴∠MCK=45° ∵CK∥AN ∴∠APM=∠MCK=45°； （3）过点A作AK⊥AB，且AK=CN， 连接CK、MK ∴四边形ANCK是平行四边形 ∵CN=MB， ∴AK=MB ∵AM=CB，∠B=∠KAM ∴△AKM≌△BMC ∴∠AKM=∠BMC，KM=MC ∵∠AKM+∠AMK=90° ∴∠BMC+∠AMK=90° ∴∠KMC=90° ∴△KMC是等腰直角三角形 ∴∠MCK=45° ∵CK∥AN ∴∠APM+∠MCK=180° ∴∠APM=135°。