Question

如图，矩形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ与ＢＤ的交点，过点Ｏ的直线ＥＦ与ＡＢ、ＣＤ的延长线分别交于点Ｅ、Ｆ．

（1）求证：△ＢＯＥ≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么条件时四边形ＡＥＣＦ是菱形，并证明你的结论．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC和BD交于点O

∴AB∥CD; OB=OD   

∴∠OEB=∠OFD  

∵∠BOE=∠DOF     

∴△BOE≌△DOF  

(2)解：当EF与AC垂直的时候四边形AECF是菱形。

证明如下：

     ∵△BOE≌△DOF   

     ∴ BE=DF

     ∵ AB=CD

     ∴AE=CF且AE∥CF

     又∵EF⊥AC

     ∴ 四边形AECF是菱形

【解析】（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．