Question

如图，抛物线y=ax²-10ax+8与y轴交于点A，与x轴交于点C、D，点B在抛物线上，且AB∥x轴，AB=AC，点P是抛物线的对称轴上一动点．
（1）求抛物线的对称轴及a的值；
（2）当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使四边形MPBC为等腰梯形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意易得对称轴的方程，又有AB∥x轴，结合对称轴的性质，可得AB=10，故在Rt△AOC中，由勾股定理易得答案；
（2）根据题意将△PAC的周长用PC+PA表示出来，由抛物线的对称性分析可得P即为BC直线x=5的交点；由此设BC的解析式为：y=kx+b，将C（-6，0），B（10，8）代入可得kb的值，进而可得其解析式；
（3）假设存在，在Rt△MOC与Rt△PBE中，根据勾股定理，结合MP∥BC分析可得答案．

解答：解：（1）∵y=ax²-10ax+8，
∴抛物线的对称轴为：x=

-10a

2a

=5，（1分）
令x=0，则：y=8，
∴点A坐标为：（0，8），
∵AB∥x轴，
∴点A与点B关于对称轴x=5对称，
∴点B坐标为：（10，8），（2分）
∴AB=10．
又∵AB=AC，
在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC=6，
∴点C的坐标为（-b，0），（3分）
将C（-b，0）代入y=ax²-100ax+8
得：36a+60a+8=0，
∴a=-

1

12

．（4分）

（2）∵C_△PAC=AC+PC+PA，
而AC=10为定值，
∴当C_△PAC的取得最小值时，PC+PA最小，
由抛物线的对称性可知：
此时点P即为BC直线x=5的交点．
令直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
由C（-6，0），B（10，8）
得：

-6k+b=0 10k+b=8

．
解得：k=

1

2

，b=3．
∴直线BC的解析式为：y=

1

2

x+3，（6分）
当x=5时，y=

5

2

+3=

11

2

，
∴此时点P的坐标为(5，

11

2

)．（7分）

（3）符合条件的点M存在．（8分）
由四边形的表示方法知：点M与点P在直线BC的同侧．
显然：MC与PB不平行．
∴MP∥BC，
令M点的坐标为（0，m），
则直线MP的解析式为：y=

1

2

x+m，
∴点P的坐标为：(5，m+

5

2

)．
在Rt△MOC与Rt△PBE中，
MC²=MO²+OC²=m²+36
PB2=PE2+EB2=(m+

5

2

-8)2+52=m2-11m+

221

4

，
由：MC=PB得：MC²=PB²
∴m2+36=m2-11m+

221

4

m=

7

4

，
∴此时点M的坐标为：(0，

7

4

)．（10分）

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．