Question

锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心．设外心到三边距离和为d_外，重心到三边距离和为d_重，垂心到三边距离和为d_垂．
求证：1•d_垂+2•d_外=3•d_重．

Answer 1

证明：设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C．
易知d_外=OO₁+OO₂+OO₃=cosA+cosB+cosC，
∴2d_外=2（cosA+cosB+cosC）．①
∵AH₁=sinB•AB=sinB•（2sinC）=2sinB•sinC，
同样可得BH₂=2sinC•sinA，CH₃=2sinA•sinB．
∴3d_重=△ABC三条高的和=2•（sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB） ②，
∴=2，
∴HH₁=cosC•BH=2•cosB•cosC．
同样可得HH₂，HH₃．
∴d_垂=HH₁+HH₂+HH₃=2（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB） ③，
∴①+③，得1•d_垂+2•d_外=2（cosA+cosB+cosC）+2（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB），
=2（cosA+cosB+cosC+cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB），
观察①、②、③，可得（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB．
则1•d_垂+2•d_外=3•d_重．
分析：设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，C．如图，OO₁、OO₂、OO₃分别是O到三边的距离，利用圆心角和圆周角的关系可以得到d_外=OO₁+OO₂+OO₃=cosA+cosB+cosC；又AH₁=sinB•AB，而根据正弦定理知道，由此可以得到AH1=sinB•AB=sinB•（2sinC）=2sinB•sinC，接着可以得到3d重=△ABC三条高的和=2•（sinB•sinC+sinC•sinA+sinA•sinB），而，所以=2；由此可知HH₁=cosC•BH=2•cosB•cosC，d_垂=HH₁+HH₂+HH₃=2（cosB•cosC+cosC•cosA+cosA•cosB），最后代入1•d_垂+2•d_外=3•d_重．即可证明结论．
点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理、三角形外接圆与外心，难度较大．