题目内容
如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ha，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：x=
| aha | a+ha |
（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．
分析：（1）由HG∥BC，可得△AHG∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果；
（2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果；
（3）正方形的一边落在三角形的最短一边BC上的内接正方形的面积最大．
（2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果；
（3）正方形的一边落在三角形的最短一边BC上的内接正方形的面积最大．
解答：解：（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（ha-x）：ha=x：a，
a（ha-x）=hax，
aha-ax=hax，
（a+ha）x=aha，
∴x=
；
（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC=
=5，则AD=
，
此时正方形的边长是：
=
；
当图③时，正方形的边长是
=
，
故③的情况面积大．
（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S=
aha，则x=
，
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+ha最小，则x最大，内接正方形的面积最大．
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（ha-x）：ha=x：a，
a（ha-x）=hax，
aha-ax=hax，
（a+ha）x=aha，
∴x=
| aha |
| a+ha |
（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC=
| AB2+AC2 |
| 12 |
| 5 |
此时正方形的边长是：
5×
| ||
5+
|
| 60 |
| 37 |
当图③时，正方形的边长是
| 3×4 |
| 3+4 |
| 12 |
| 7 |
故③的情况面积大．
（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S=
| 1 |
| 2 |
| S |
| 2(a+ha) |
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+ha最小，则x最大，内接正方形的面积最大．
点评：本题探讨合理利用三角形的边角余料，提高材料的利用率．
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