Question

8．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F点．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）连接CD、AF．若AC=BC，则四边DCFA是怎样的特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）证出DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得DE∥BC，又BD∥CF，即可得出结论；
（2）由四边形BDFC是平行四边形的性质得出BC=DF，BD=CF，得出AD=CF，证出四边形DCFA是平行四边形，再证出AC=DF，即可得出四边形DCFA是矩形．

解答 （1）证明：D、E分别为AB、AC的中点，
∴AD=BD，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BD∥CF，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：四边形DCFA是矩形；理由如下：
∵四边形BDFC是平行四边形，
∴BC=DF，BD=CF，
∵AD=BD，
∴AD=CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形DCFA是平行四边形，
∵AC=BC，
∴AC=DF，
∴四边形DCFA是矩形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定方法，由三角形中位线定理得出DE∥BC是解决问题的关键．