Question

10．在△ABC中，AB=2$\sqrt{6}$，AC=7，AD⊥AC交BC于点D，点E为∠BAD角平分线上一点，连接EA、EB、EC，点G为CE中点，过点E作EF⊥CA交CA延长线于点F，连接FG，若∠EBC=30°，∠AEB=150°，则FG=$\frac{1}{2}$$\sqrt{73}$．

Answer 1

分析 如图，延长AD到H，使AH=AB，连接BH，CH，EH交BC于M，根据全等三角形的性质得到BE=HE，∠AEB=∠AEH=150°，推出△BEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠EBH=60°，根据三角形的内角和得到∠HBC=∠30°=∠EBC，根据线段垂直平分线的性质得到HC=EC，于是得到结论．

解答 解：如图，延长AD到H，使AH=AB，连接BH，CH，EH交BC于M，
在△ABE与△AHE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AH}\\{∠BAE=∠HAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=HE，∠AEB=∠AEH=150°，
∴∠BEH=60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴∠EBH=60°，
∵∠EBC=30°，
∴∠HBC=∠30°=∠EBC，
∴BM⊥EH，ME=MH，
∴HC=EC，
∵AH=AB=2$\sqrt{6}$，AC=7，∠DAC=90°，
∴EC=HC=$\sqrt{73}$，
∵∠EFC=90°，EG=CG，
∴FG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{73}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$$\sqrt{73}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．