Question

如图，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AD=10cm，且tan∠EFC=．
（1）求证：△AFB∽△FEC；（2）求折痕AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠AFE=90°，∠B=90°，∠C=90°．
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=∠EFC+∠FEC=90°．
∴∠BAF=∠EFC，∠AFB=∠FEC．
∴△AFB∽△FEC．

（2）解：∵AD=10cm，tan∠EFC=tan∠FAB=，
又∵△AFB∽△FEC，
∴=，
又∵AF=AD=BC=10cm，
∴AB=8cm，BF=6cm，CF=4cm，CE=3cm；
∴EF=5cm，
∴=．
∴折痕AE的长为cm．
分析：（1）先证明∠EFC=∠FAB，∠B=∠C，即可证明△AFB∽△FEC；
（2）根据AD=10cm，且tan∠EFC=，利用问题（1）和勾股定理即可求得AE的长．
点评：本题主要考查对于相似三角形的掌握以及三角形勾股定理的应用．