Question

如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点P在边CD上，且BP=BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF=

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF=∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP=∠BPC，然后求出∠BPC=∠MHP，根据等角对等边可得PM=MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE=EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=FH，从而求出EF=

1

2

CP，根据矩形的对边相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．

解答：解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP=∠BCP，∠NCF=∠MHF，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BPC=∠MHP，
∴PM=MH，
∵PM=CN，
∴CN=MH，
∵ME⊥CP，
∴PE=EH，
在△NCF和△MHF中，

∠NCF=∠MHF ∠CFN=∠HFM CN=MH

，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF=FH，
∴EF=EH+FH=

1

2

CP，
∵矩形ABCD中，AD=10，
∴BC=AD=10，
∴BP=BC=10，
在Rt△ABP中，AP=

BP2-AB2

=

102-82

=6，
∴PD=AD-AP=10-6=4，
在Rt△CPD中，CP=

CD2+PD2

=

82+42

=4

5

，
∴EF=

1

2

CP=

1

2

×4

5

=2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．