Question

如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6，⊙O的半径为10，求BF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连结OD，若要证明AD平分∠BAC，则问题可转化为证明：∠1=∠2；
（2）作DH⊥AB，可证明△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于BF的比例式，计算即可．

解答：（1）证明：连结OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥OE．             
又∵DE⊥AC，
∴AE∥OD．
∴∠2=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠1=∠ADO．
∴∠1=∠2，
即AD平分∠ABC；

（2）解：作DH⊥AB于H，
∵∠1=∠2，∠E=90°，
∴DH=DE=6，
∵OD=10，
∴由勾股定理得：OH=8，
∴AH=10+8=18，AB=20，
∵FB是⊙O的切线，
∴∠FBA=90°，
∴DH⊥AB，
∴DH∥BF，
∴△AHD∽△ABF，
∴

DH

BF

=

AH

AB

，
∴

6

BF

=

18

20

，
∴BF=

20

3

．

点评：本题考查了切线的判定方法，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，注意：辅助线的做法，也考查了相似三角形的性质和判定．