题目内容

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴上，点B（4，2）；过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N
（1）求直线DE的函数表达式和点M、N的坐标；
（2）若函数y=
k
x
(k≠0，k为常数）经过点M，求该函数的表达式，并判定点N是否在图象上；
（3）求△OMN的面积S；
（4）若函数y=
k
x
(k≠0，k为常数）的图象与△BMN没有交点，请直接写出k的取值范围，不需解答过程．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）利用待定系数法即可求得直线DE的解析式，然后根据M的纵坐标是2，N的横坐标是4，即可求得M、N的坐标；
（2）利用待定系数即可求得反比例函数的解析式，然后把N的坐标代入解析式检验即可判断是否在反比例函数的图象上；
（3）根据△OMN的面积S=S梯形OCBM-S△OCN-S△BMN即可求解；
（4）根据经过M、N的反比例的函数的解析式，以及经过B的反比例函数的解析式，即可直接写出k的范围．
解答：解：（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，根据题意得：
b=3
6k+b=0
，
解得：
b=3
k=-
1
2
，
则直线DE的解析式是：y=-
1
2
x+3，
令y=2，得到2=-
1
2
x+3，解得：x=2，则M的坐标是（2，2），
令x=4，解得：x=-2+3=1，则N的坐标是（4，1）；

（2）把（2，2）代入y=
k
x
得；k=4，则反比例函数的解析式是：y=
4
x
，
当x=4时，y=1，则N在y=
4
x
的图象上；

（3）S梯形OCBM=
1
2
（BM+OC）•BC=
1
2
（2+4）•2=6，
S△OCN=
1
2
OC•CN=
1
2
×4×1=2，
S△BMN=
1
2
BN•BM=
1
2
×1×2=1，
则△OMN的面积S=6-2-1=3；

（4）经过M的反比例函数的解析式是：y=
4
x
，同时经过点N，则当0＜k＜4时，函数与△BNM没有交点；
经过点B的反比例函数的解析式是：y=
8
x
，则当k＞8时，函数与△BMN没有交点；
当k＜0时，函数图象在二、四象限，则与△BMN没有交点．
故k的范围是：0＜k＜4或k＞8或k＜0．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，以及反比例函数的图象的性质，正确求得函数解析式是关键．
练习册系列答案
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下列各式中，正确的是（　　）
A、
2
+
3
=
5
B、(-
3
)2=9
C、
3-27
=-3
D、
(-2)2
=-2
下列运算正确的是（　　）
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B、4a-2a=2
C、x4-x2=x2
D、-a+a=0
解下列不等式（组）．
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（2）
1
4
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a+2≥
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3
．
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k
x
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．
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．
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．
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