Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E，
（1）证明△DPC∽△AEP；
（2）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，∴∠1=∠3                     又∠A=∠D=Rt∠     ∴△DPC∽△AEP （2）∵∠2=30°，CD=4，∴PC=8，PD=           由（1）得：10-12 （3）存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，          ∵相似三角形周长的比等于相似比，设=2，解得DP=8 。