Question

【题目】对于一个关于x的代数式A，若存在一个系数为正数关于x的单项式F，使的结果是所有系数均为整数的整式，则称单项式F为代数式A的“整系单项式”．例如：

当A=，F=2x3时，由于=1，故2x3是的整系单项式；

当A=，F=6x5时，由于，故6x5是的整系单项式；

当A=3-，F=时，由于=2x-1，故是3-的整系单项式；

当A=3-，F=8x4时，由于，故8x4是3-的整系单项式；

显然，当代数式A存在整系单项式F时，F有无数个，现把次数最低，系数最小的整系单项式F记为F（A）．例如：，

阅读以上材料并解决下列问题：

（1）判断：当A=时，F=2x3______A的整系单项式（填“是”或“不是”）

（2）解方程：

（3）已知a、b、c是△ABC的边长，其中a、b满足（a-5）2+=0，且关于x的方程||=c有且只有3个不相等的实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）x=；（3）26或27；

【解析】

（1）当A=时，F=2x3时，=x；

（2）令F=axn，结合定义进行判断，即可求出F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，将所求方程转化为-1=即可求解；

（3）根据平方与二次根式的性质可求a=5，b=9，再求出F（）=x2，将所求式子转化为可以化为||=c，结合函数图象即可求解；

解：（1）当A=时，F=2x3时，=x，

∴是2x3的整系单项式；

（2）F（x+1）=2x，F（1-）=2x2，

∴可以化为-1=，

∴2x2-3x+1=0，

∴x=1或x=；

经检验x=1是方程的增根，

∴原方程的解为x=；

（3）∵（a-5）2+=0，

∴a=5，b=9，

F（）=x2，

∴||=c可以化为||=c，

∴|（x-3）++6|=c，

当x=6时，c=12，

∴当x≥6时，c≥12，此时方程有且只有3个不相等的实数根，

∵c＜14，

∴c=12或c=13，

∴△ABC的周长为26或27；