Question

如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．
（1）当t=

1

3

时，求直线DE的函数表达式；
（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当OD²+DE²的算术平方根取最小值时，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，可得出∠DOC=∠EDB，同理得∠ODC=∠DEB，又因为∠OCD=∠B=90°，因此△CDO∽△BED，那么可得出关于OC，CD，BD，BE比例关系的式子，有CD的长，有OC，BC的长，那么可得出BE的长，因此就能求出E的坐标，然后根据待定系数法求出过DE的函数的关系式；
（2）要求梯形COEB的面积就必须知道BE的长，同（1）的方法，我们可以用t表示出BE，那么就能用关于t的式子表示出S，然后根据函数的性质来判断S的最大值及相应的t的值．
（3）当OD²+DE²的算术平方根取最小值时OE就最小，OA为定值，因此此时AE最小，那么三角形AOE的面积就最小，此时梯形OEBC的面积最大，那么也就是说OE最小时梯形OEBC的面积最大，根据（2）我们知道梯形最大时t的值，由此可得出E的坐标．

解答：解：（1）∵∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，
∴∠DOC=∠EDB，
同理得∠ODC=∠DEB，
∵∠OCD=∠B=90°，
∴△CDO∽△BED，
∴

CD

BE

=

CO

BD

，即

1 3

BE

=

1

1- 1 3

，
得BE=

2

9

，则点E的坐标为E（1，

7

9

），
设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D（

1

3

，1）和E（1，

7

9

），
代入y=kx+b得k=-

1

3

，b=

10

9

，
故所求直线DE的函数表达式为y=-

1

3

x+

10

9

；

（2）存在S的最大值．
∵△COD∽△BDE，
∴

CD

BE

=

CO

DB

，即

t

BE

=

1

1-t

，BE=t-t²，
S=

1

2

×1×（1+t-t²）=-

1

2

(t-

1

2

)2+

5

8

．
故当t=

1

2

时，S有最大值

5

8

；

（3）在Rt△OED中，OD²+DE²=OE²，OD²+DE²的算术平方根取最小值，也就是斜边OE取最小值．
当斜边OE取最小值且一直角边OA为定值时，另一直角边AE达到最小值，
于是△OEA的面积达到最小值，
此时，梯形COEB的面积达到最大值．
由（2）知，当t=

1

2

时，梯形COEB的面积达到最大值，故所求点E的坐标是（1，

3

4

）．

点评：本题考查了正方形的性质，一次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识点．本题中用相似三角形得出比例关系，然后用线段的比例关系和CD表示出BE是解题的关键．