Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1-m）（m为常数）．
（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；
（3）当P移动到点（

1

2

，

1

2

）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b的值确定解析式；
（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变；
（3）可作出对称轴与x轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0．

a×12+b×1=0 a×m2+b×m=1-m

，

a=- 1 m b= 1 m

．
所以y=-

1

m

x²+

1

m

x；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=-

1 m

2×(- 1 m )

=

1

2

．
所以它不会随P的移动而改变；

（3）点O（0，0）可满足．
设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q₁，Q₂两点，则△Q₁PB，△Q₂PB是等腰三角形．
∵直线PB的解析式为：y=-x+1，
∴Q₁Q₂的解析式是：y=x-

1

2

，抛物线的解析式为：y=-2x²+2x．
所以直线和抛物线的交点Q₁，Q₂两点的坐标是（

5 +1

4

，

5 -1

4

），（

1- 5

4

，-

5 +1

4

）．

点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标．