Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（

3

，-4）的抛物线交y轴于点C（0，-3），交x轴于点A、B（点B在点A的右侧）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A作AD⊥AC交抛物线于点D．
①点E为抛物线上一点，且S_△ABD：S_△ABE=5：8，求点E的坐标；
②设P点是直线AD下方抛物线上的一动点，过点P作PM平行于y交AD于点M，求出线段PM的最大值．

Answer 1

分析：（1）本题需先设出二次函数的解析式是：y=a（x-h）²+k （a≠0），再把顶点为（

3

，-4）代入，即可求出结果．
（2）①本题需先根据第一个求出的抛物线，再把交点C的坐标代入，求出直线AC的解析式，由此再得出直线AD的解析，再解出D点的坐标，根据且S_△ABD：S_△ABE=5：8的关系，解出点E的坐标即可．
②本题首先设P点的坐标，求出M点的坐标，再得出PM的解析式，从而得出PM的最大值即可．

解答：解：（1）设二次函数的解析式是：y=a（x-h）²+k （a≠0）
则：

h= 3 k=-4 -3=ah2+k

，
∴y=

1

3

（x-

3

)2-4，
∴y=

1

3

x2-

2 3

3

x-3；

（2）①∵抛物线y=

1

3

x2-

2 3

3

x-3与y轴的交点C的坐标为（0，-3），
与x轴的交点AB的坐标分别为（-

3

，0）（3

3

，0），
∴直线AC的解析式为y=-

3

-3，
AB=4

3

，
∵AD⊥AC，
∴直线AD的解析式为y=

3

3

x+1，
由

y= 3 3 x+1 y= 1 3 x2- 2 3 3 x-3

，
得

x=- 3 y=0

或

x=4 3 y=15

，
∴D点的坐标为（4

3

，5），
∴S_△ABD=

1

2

×4

3

×5=10

3

，
S_△ABE=16

3

，
∴△ABE中，AB边上的高为8，
由

1

3

x2-

2 3

3

x-3=24，得
x1=

3

+6   x2=

3

-6，
∴E点的坐标为：（

3

+6，8），（

3

-6，8），
②设P点的坐标为（m，

1

3

m2-

2 3

3

m-3），
则M点的坐标（m，

3

3

m+1)，
∴PM=（

3

3

m+1)-（

1

3

m2-

2 3

3

m-3），
=-

1

3

m2+

3

m+4，
∴当m=

3 3

2

时，PM的最大值是

25

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用问题，在解题时要注意知识的综合运用，找出必要的条件，是解题的关键，遇到这样的题要考虑问题全面，做到不重不漏．