Question

解方程：

x- 1 x

+

1- 1 x

=x．

Answer 1

考点：无理方程

专题：

分析：首先将无理方程整理为整式方程，进而利用因式分解法分解因式，再利用换元法求出x的值，进而检验得出．

解答：解：

x- 1 x

+

1- 1 x

=x，
把

x- 1 x

移到等号的左边，然后两边平方的得到：x²+x-

1

x

-2x

x- 1 x

=1-

1

x

，
整理得：x²+x-1=2x

x- 1 x

，
再平方，得：x⁴+x²+1-2x+2x³-2x²=4x³-4x；
整理得：x⁴-2x³-x²+2x+1=0
则（x-1）x（x+1）（x-2）=-1．
分组展开，前两项一组，后两项一组，展开后得 （x²-x）（x²-x-2）=-1
令 a=x²-x
则原方程化为 a（a-2）=-1
即 a²-2a+1=0
a₁=a₂=1
所以 x²-x=1
解得 x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，
将x₂带回原方程

1- 1 x

=x-

x- 1 x

，发现 x-

x- 1 x

＜0，方程不成立，
而x₁=

1+ 5

2

能使原方程成立，
所以原方程的解为：x=

1+ 5

2

．

点评：此题主要考查了无理方程的解法，正确转化方程形式是解题关键．