Question

6．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB的中点，∠EDF=90°
（1）求证：EC=FB；
（2）试探究线段AE+BF与EF的大小关系；
（3）求证：四边形ECFD的面积是△ABC的面积的一半；
（4）若E、F为AC、BC边上的动点，其他条件不变，则（1）、（2）、（3）中的结论是否仍然成立？

Answer 1

分析 （1）连接CD，证明△CED与△BFD全等即可证得EC=FB；
（2）通过证△CED≌△BFD，EC=FB，同理证得△AED≌△CFD，AE=CF．在△CEF中，CE+CF＞EF，所以FB+AE＞EF；
（3）由（2）中的结论不难得到△CED的面积=△BFD面积，△AED的面积=△CFD的面积，所以四边形ECFD的面积是△ABC的面积的一半；
（4）由（1）、（2）、（3）的证明过程可说明，若E、F为AC、BC边上的动点，其他条件不变，（1）、（2）、（3）中的结论仍然成立．

解答 解：（1）连接CD，如图1，
∵∠C=90°，AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=∠CAB=∠CBA=45°，（等腰三角形底边上的高线、顶角的平分线与底边的中线互相重合），
∵∠EDF=90°，
∴∠EDC=∠FDB（同角的余角相等），
在△EDC和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠FDB}\\{CD=BD}\\{∠ECD=∠FBD}\end{array}\right.$，
∴△EDC≌△FDB（ASA），
∴EC=FB（全等三角形的对应边相等）；
（2）由（1）中△EDC≌△FDB的证明，同理可证得△AED≌△CFD
∴AE=CF（全等三角形对应边相等），
又∵EC=FB，
在△CEF中，EC+CF＞EF，
∴AE+FB＞EF；
（3）∵△CED≌△BFD，△AED≌△CFD，
∴S_△CED=S_△BFD，S_△AED=S_△CFD，
∴S_△CED+S_△CFD=S_△BFD+S_△AED，
即：S_{四边形ECFD}=S_△BFD+S_△AED，
∴四边形ECFD的面积是△ABC的面积的一半；
（4）若E、F为AC、BC边上的动点，其他条件不变，则（1）、（2）、（3）中的结论仍然成立．

点评 对于等腰三角形的问题，常常应用“三线合一”这条性质，即：等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合，解决本题的关键是引出辅助线：中线CD．