Question

如图1，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，交BC于点K，过CB延长线上一点E作∠EAB=∠ACE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）如图2，连BD，若∠E=∠DAB，

BK

BD

=

3

5

，DK=2

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接OA、OD．欲证明AE为⊙O的切线，只需证得OA⊥AE即可；
（2）如图2，连接CD、OC、OD．利用（1）中的结论，由弦切角的性质和已知条件易证得∠CKD=∠CDK，故CD=CK．所以设BK=3t，则BD=CD=CK=5t，由垂径定理得
BH=CH=4t．在Rt△DHC中，根据勾股定理可得DH=3t，在Rt△DHK中，根据勾股定理得DH²+HK²=DK²，由此求得t=

2

．在Rt△OCH中，由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3

2

）²+（4

2

）²=r²，解得r=

25

6

2

．

解答：（1）证明：如图1，连接OA、OD．
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD．
∴

CD

=

BD

．
又∵∠EAB=∠C，∠CKD=∠C+∠CAD，
∴∠CKD=∠KAE
又∵

CD

=

BD

，
∴由垂径定理得OD⊥BC，
∴∠CKD+∠ODA=90°，
又OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD+∠KAE=90°，即OA⊥AE．
∵OA是半径，
∴AE为⊙O的切线；

（2）如图2，连接CD、OC、OD
∵∠E=∠DAB，
∴∠KBA=∠KAE=∠CDK，由（1）证得了∠CKD=∠KAE，
∴∠CKD=∠CDK，
∴CD=CK
∴设BK=3t，则BD=CD=CK=5t，由垂径定理得BH=CH=4t，
∴HK=t，
在Rt△DHC中，根据勾股定理可得DH=3t
在Rt△DHK中，根据勾股定理得DH²+HK²=DK²，
即（3t）²+t²=（2

5

）²，
解得t=

2

．
在Rt△OCH中，设OC=r，OH=r-3

2

，CH=4

2

，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，
即（r-3

2

）²+（4

2

）²=r²，解得r=

25

6

2

．

点评：本题考查切线的判定与性质、垂径定理和勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．