Question

如图，已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：

①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②E点的坐标是（5，8）；③sin∠COA=；④AC+OB=12．其中正确的结论有（　　）

A．1个  B．2个   C．3个  D．4个

Answer 1

B【考点】反比例函数综合题．

【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．

【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，

∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），

∴OA•CF=OB•AC=×160=80，菱形OABC的边长为10，

∴CF===8，

在Rt△OCF中，

∵OC=10，CF=8，

∴OF===6，

∴C（6，8），

∵点D时线段AC的中点，

∴D点坐标为（，），即（8，4），

∵双曲线y=（x＞0）经过D点，

∴4=，即k=32，

∴双曲线的解析式为：y=（x＞0），故①错误；

∵CF=8，

∴直线CB的解析式为y=8，

∴，解得x=4，y=8，

∴E点坐标为（4，8），故②错误；

∵CF=8，OC=10，

∴sin∠COA===，故③正确；

∵A（10，0），C（6，8），

∴AC==4，

∵OB•AC=160，

∴OB===8，

∴AC+OB=4+8=12，故④正确．

故选：B．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度适中．