Question

一间房间有n个抽屉，标上号码1至n，全部锁上．n个人p₁，p₂，p₃，…，p_n排成一列，依次通过这间房间，每个人p_k将（并且仅将）那些标号被k整除的抽屉的状态改变，即如果抽屉锁是开的，P_k将它锁上，如果抽屉是锁的，P_k将它打开．在n个人全部通过这间房间后，有哪些抽屉是打开的？如果这n个人进行同样的操作，但依照某种不同的次序通过，结果又如何？

Answer 1

考点：奇偶性问题

专题：奇数偶数问题

分析：因为n个抽屉在开始时全部锁着，所以当n个人全部通过这间房间后，若有某抽屉是打开的，那么该抽屉一定被操作过奇数次，若某抽屉是锁着的，则该抽屉一定被操作过偶数次；另一方面，根据题意，每个人P_k将（且仅将）对那些标号被k整除的抽屉进行一次操作，因此，当n个人全部通过这间房间后，若某抽屉是打开的，则该抽屉的编号一定具有奇数个因数，根据完全平方数的性质13，该抽屉的编号一定是一个完全平方数；故当n个人全部通过这间房间后，那些编号为完全平方数的抽屉是打开的．

解答： 解：因为n个抽屉在开始时全部锁着，
所以当n个人全部通过这间房间后，
若有某抽屉是打开的，那么该抽屉一定被操作过奇数次，
若某抽屉是锁着的，则该抽屉一定被操作过偶数次；
另一方面，根据题意，每个人P_k将（且仅将）对那些标号被k整除的抽屉进行一次操作，
因此，当n个人全部通过这间房间后，
若某抽屉是打开的，则该抽屉的编号一定具有奇数个因数，
根据完全平方数的性质13，该抽屉的编号一定是一个完全平方数；
故当n个人全部通过这间房间后，那些编号为完全平方数的抽屉是打开的．

点评：此题主要考查了奇偶性问题的应用，考查了分析推理能力的应用．