Question

根据图中5个图形的变化规律，求第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数．

Answer 1

考点：数与形结合的规律

专题：探索数的规律

分析：首先根据已知的5个图形，分析出每个图形有几层圆圈，每层圆圈的个数分别是多少；然后总结出第n层圆圈个数的公式，代入求出第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数即可．

解答： 解：设第1个图形的所有圆圈的个数是S₁，第2个图形的所有圆圈的个数是S₂，…第n个图形的所有圆圈的个数是S_n，
S₁=1
S₂=1+（1+2）
S₃=1+（1+2）+（1+2+3）
S₄=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）
S₅=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+（1+2+3+4+5）
…
S_n=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+（1+2+3+4+5）+…+（1+2+3+…+n）
因为（1+2+3+…+n）=n（n+1）÷2，
所以第n个图形所有圆圈的个数为：
S_n=（∑n²+∑n）÷2
=[n（n+1）（2n+1）÷6+n（n+1）÷2]÷2
=n（n+1）（n+2）÷6，
则第99个图形中所有圆圈的个数为：
S₉₉=99×（99+1）×（99+2）÷6=166650．
答：第99个图形中所有圆圈（实心圆圈与空心圆圈）的个数是166650．

点评：此题主要考查了数形结合的规律问题的应用，解答此题的关键是分析出每个图形有几层圆圈，每层圆圈的个数分别是多少．