Question

7．$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+$\frac{1}{{6}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{10{0}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 先根据平方差公式把分数的分母变形，再根据拆项公式$\frac{1}{n（n+2）}$=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）×$\frac{1}{2}$拆项后通过加减相互抵消即可简算．

解答 解：$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+$\frac{1}{{6}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{10{0}^{2}-1}$
=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{100}{101}$
=$\frac{50}{101}$．

点评 本题考查了分数拆项公式$\frac{1}{n（n+2）}$=（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）×$\frac{1}{2}$的灵活应用．