Question

2．计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$可以这样考虑：$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$）=1-$\frac{1}{8}$=$\frac{7}{8}$
请你在理解的基础上计算下式的值：1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+5$\frac{1}{32}$+…+10$\frac{1}{1024}$．

Answer 1

分析 把带分数的整数部分和整数部分相加，分数部分和分数部分相加，整数部分根据高斯求和公式计算；分数部分再根据拆项公式：$\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}$，把分数拆项，通过加减相互抵消简算即可．

解答 解：1$\frac{1}{2}$+2$\frac{1}{4}$+3$\frac{1}{8}$+4$\frac{1}{16}$+5$\frac{1}{32}$+…+10$\frac{1}{1024}$
=（1+2+3+4+5+…+10）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+…+$\frac{1}{1024}$）
=（1+10）×10÷2+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{512}$-$\frac{1}{1024}$）
=55+（1-$\frac{1}{1024}$）
=55+$\frac{1023}{1024}$
=55$\frac{1023}{1024}$

点评 本题考查了高斯求和公式：（1+n）n÷2和分数拆项公式：$\frac{1}{2n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}$的灵活应用．