Question

下面的数组是按一定顺序排列的：
（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），…．请问：
（1）其中第70个括号内的数分别是多少？
（2）前50个括号内各数之和是多少？

Answer 1

考点：数列中的规律

专题：探索数的规律

分析：规律是这样的：按和为2，和为3，和为4…排列下去
2=1+1
3=1+2=2+1
4=1+3=2+2=3+1
5=1+4=2+3=3+2=4+1
6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1
…
（1）和是2的加法算式有1个，即括号有1个；和是3的加法算式有2个，即括号有2个，依此类推，和是n的加法算式有n-1个，到和是n的加法算式总个数是1+2+3+4…+n-1，即括号数有1+2+3+4+…+n-1，要求其中第70个括号内的数分别是多少，只要求出1+2+3+…+n-1=70，n是几，即可得解；
（2）要求前50个括号内各数之和是多少？只要求出1+2+3+…+n-1=50，求出n，然后求2+3×2+4×3+…+n×（n-1），即可得解．

解答： 解：根据以上分析，得：
（1）1+2+3+4+…+n-1=

n(n-1)

2

12×11

2

=66

13×12

2

=78
所以第70个括号内的数是和为12的后面，即和13的第70-66=4个数，前一个数是4，后一个数是13-4=9，
答：其中第70个括号内的数分别是（4，9）．

（2）1+2+3+…+n-1=

n(n-1)

2

10×9

2

=45

11×10

2

=55
所以第50个括号内的数和是10的后面，即和是11的第50-45=5个数，
2+3×2+4×3+5×4+6×5+7×6+8×7+9×8+10×9+11×5
=2+6+12+20+30+42+56+72+90+55
=385
答：前50个括号内各数之和是385．

点评：发现规律“按和为2，和为3，和为4…排列下去”是解决此题的关键．