Question

设n是小于50的自然数，求使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n．

Answer 1

考点：公约数与公倍数问题

专题：整除性问题

分析：对于小于50的自然数，设d是3n+5和5n+4大于1的公约数，则d整除5（3n+5）-3（5n+4）=13，所以d=13，进而

3n+5=13k 5n+4=13l

，由3n+5=13k，可得k=3（n-4k）+5=3s+2，其中s=n-4k+1，所以n=4k+s-1=4（3s+2）+s-1=13s+7，然后求出所有n即可．

解答： 解：对于小于50的自然数，
设d是3n+5和5n+4大于1的公约数，
则d整除5（3n+5）-3（5n+4）=13，
所以d=13，进而

3n+5=13k 5n+4=13m

，
由3n+5=13k，
可得k=3（n-4k）+5=3s+2，其中s=n-4k+1，
所以n=4k+s-1=4（3s+2）+s-1，
n=13s+7．
因为0≤n≤50，
所以0≤s≤3，对应的n分别是7，20，33，46．
答：使得3n+5和5n+4有大于1的公约数的所有n是7，20，33，46．

点评：此题主要考查了公约数问题，解答此题的关键是首先设d是3n+5和5n+4大于1的公约数，根据题意，求出d=13．