Question

7．已知$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$  $\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…那么$\frac{1}{9×10}$=$\frac{（）}{（）}$-$\frac{（）}{（）}$，你能很快算出：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$的和吗？

Answer 1

分析 已知$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$  $\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…，可得分子是1，分母是连续两个自然数（0除外）的乘积，可以写成分子是1，分母分别是这两个自然数的分数差，即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n为不是0的自然数）；那么$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$；
$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；$\frac{1}{30}$=$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；$\frac{1}{56}$=$\frac{1}{7×8}$=$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$；
然后再进一步解答．

解答 解：根据题意与分析可得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n为不是0的自然数）；
那么$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$；
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{5×6}$+$\frac{1}{6×7}$+$\frac{1}{7×8}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$
=1-$\frac{1}{8}$
=$\frac{7}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{10}$，$\frac{7}{8}$．

点评 本题关键是根据题意，找出规律，然后再算式化成有规律的形式再进行计算．